2 Statystyka opisowa

Niech \(\pmb{x}=(x_1,\ldots ,x_n)'\) będzie próbką, tzn. \(x_1,\ldots ,x_n\) są obserwacjami zmiennej (cechy) \(X\).

Zadaniem statystyki opisowej jest prezentacja rozkładu cechy \(X\) w próbce (rozkładu empirycznego), przy pomocy tabeli lub wykresu. Często wystarczające jest jedynie podanie kilku liczb charakteryzujących ten rozkład.

Metody opisu rozkładu empirycznego:

1. tabelaryczny,
2. graficzny,
3. Statystyki opisowe

• klasyczne - bazujące na uśrednianiu obserwowanych wartości w próbce, np. moment zwykły rzędu \(r\): \[m_r ={1\over n}\sum _{k=1}^n x_k^r\]
• pozycyjne - bazujące na posortowanych rosnąco wartościach w próbce, np. dolny kwartyl: \[Q_1={1\over 2}(x_{(i)}+x_{(j)}),\] gdzie \[i=\lceil {n+1\over 4}\rceil ,\ j=\lceil {n\over 4}\rceil \] lub górny kwartyl: \[Q_3={1\over 2}(x_{(i)}+x_{(j)}),\] gdzie \[i=\lceil {3(n+1)\over 4}\rceil ,\ j=\lceil {3n\over 4}\rceil .\]

Charakterystyki tendencji centralnej rozkładu empirycznego:

1. średnia, \[\bar x={1\over n}\sum _{k=1}^nx_k\]

2. mediana,

\[Me=\left\{ \begin{array}{ll} x_{({n+1\over 2})}, & \textrm{$n$ -- nieparzyste,} \\ {1\over 2}[x_{({n\over 2})}+x_{({n\over 2}+1)}], & \textrm{$n$ -- parzyste.} \end{array} \right.\]

Charakterystyki rozrzutu rozkładu empirycznego:

1. odchylenie standardowe, \[s=\sqrt{{1\over n-1}\sum _{k=1}^n(x_k-\bar x)^2}\]

2. współczynnik zmienności \[v={s\over \bar x}100\]

Funkcje związane ze statystyką opisową:

1. table - szereg rozdzielczy (liczebności),
2. prop.table - szereg rozdzielczy (proporcje, częstości),
3. cut - dla cechy ilościowej ciągłej podział na przedziały klasowe,
4. barplot - wykres słupkowy (cecha jakościowa lub ilościowa dyskretna),
5. pie - wykres kołowy (cecha jakościowa lub ilościowa dyskretna),
6. hist - histogram (cecha ilościowa ciągła).
7. mean - średnia z próby,
8. median - mediana z próby,
9. sd - odchylenie standardowe z próby.

2.1 Wywołania w R

Cecha jakościowa.

Dane: Rodzina

load("Rodzina.RData")
attach(Rodzina)
head(Rodzina,5)

Szereg rozdzielczy dla zmiennej Wynik:

Liczebnosc=table(Wynik)
Procent=prop.table(Liczebnosc)*100
Ocena=cbind(Liczebnosc,Procent)
tekst=c('bardzo dobra','przeciętna','zła','fatalna')
rownames(Ocena)=tekst
Ocena

Wykres słupkowy:

Przy użyciu klasycznej funkcji barplot z biblioteki graphics.

barplot(Procent,col=1:4,main='Ocena sytuacji materialnej',ylab='Liczebność',names.arg=NA,legend.text=tekst)

Z podziałem na chłopców i dziewczęta:

Liczebnosc=table(Wynik,Plec)
Procent=prop.table(Liczebnosc,2)*100
tekst=c('bardzo dobra','przeciętna','zła','fatalna')
rownames(Procent)=tekst
colnames(Procent)=c('chłopcy','dziewczęta')
Procent

Wykres słupkowy:

barplot(Procent,beside=T,col=1:4,main='Ocena sytuacji materialnej',ylab='Procent',legend.text=tekst)

Cecha ilościowa.

Dane: Diabetes

load("Diabetes.RData")
attach(Diabetes)
head(Diabetes,5)

Szereg rozdzielczy dla zmiennej “mass”

\[mass=BMI=\frac{masa}{wzrost^2}\]

Uwaga: 18.5 - 24.99 wartość prawidłowa

Ustalony podział na klasy:

dane=Diabetes
Liczebnosc=table(cut(dane$mass,c(10,30,50,70)))
Procent=prop.table(Liczebnosc)*100
BMI=cbind(Liczebnosc,Procent)
BMI

Automatyczny podział na klasy:

h=hist(dane$mass,plot=F)
Liczebnosc=table(cut(dane[,6],h$breaks))
Procent=prop.table(Liczebnosc)*100
BMI=cbind(Liczebnosc,Procent)
BMI

Histogram:

hist(dane$mass,main='',xlab='BMI',ylab='Liczebność')

Przy użyciu funkcji z biblioteki ggplot2

library(ggplot2)
g<-ggplot(data=dane)
g<-g+geom_histogram(aes(x=mass),color='grey30',fill='white',binwidth = 5)
g<-g+labs(x='BMI',y='Liczebność')
g

Statystyki opisowe:

summary(dane$mass) # domyślne
mean(dane$mass) # średnia
median(dane$mass) # mediana
sd(dane$mass) # odchylenie standardowe
sd(dane$mass)/mean(dane$mass)*100 # współczynnik zmienności

Prosta funkcja obliczająca cv:

cv<-function(wektor)
{
  cv<-sd(wektor)/mean(wektor)*100
  return(cv=cv)
}
cv(dane$mass)